Idag: jag är tyst - NI pratar! 1. Jag frågar 2. Ni tänker 15 sekunder 3. Ni föreslår en lösning! --------------------------------------------- Givet: x y 1920 4281 1930 4302 Hur skatta y(1925)? --------------------------------------------- Nu Givet: x y 1920 4281 1930 4302 1940 4042 Samma y(1925) som förut? Hur skatta y(1925) nu? --------------------------------------------- Om fått N mätpunkter, vilket gradtal skall polynomet ha? --------------------------------------------- Är c1 och c2 desamma i de två polynomen? --------------------------------------------- Givet: x y 1920 4281 1930 4302 1930 4302 Hur göra i Matlab för skatta y(1925)? --------------------------------------------- Om i stället givet x y 1910 3982 1920 4281 1930 4302 Får man nu samma värde på y(1925)? Får man samma koefficienter c1, c2, c3? --------------------------------------------- Vanliga ansatsen kallas "naiv ansats". Ändras punkter eller gradtal - allt nytt! --------------------------------------------- Grundide för polynom-interpolation: * Välj gradtal efter antalet punkter eller * Bestäm gradtal - välj ut lämpliga punkter --------------------------------------------- Är det bra att approximera med ett polynom? --------------------------------------------- Skatta trunkeringsfelet (dvs att vi approx funktionen med ett polynom i stället för den riktiga funktionen) genom att öka gradtalet hos polynomet. --------------------------------------------- Återigen givet x y 1910 3982 1920 4281 1930 4302 Om gör ansats y(x)=c1+c2*(x-1930)+c3*(x-1930)^2 Får man nu samma värde på y(1925)? Får man nu samma graf y(x)? Får man samma koefficienter c1, c2, c3? --------------------------------------------- Men det blir snällare siffror i beräkningarna! Det blir lägre konditionstal. --------------------------------------------- Så: Olika ansatser ger * Samma y(x) (om inte blir stora avrundningsfel) * Olika koefficienter * Olika risk för avrundningsfel. Lättare siffror --------------------------------------------- Newtons ansats ser ut: y(x)= c1 + c1*(x-x1) + c2*(x-x1)*(x-x2) + c3*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) + ... --------------------------------------------- Med ... --------------------------------------------- Alltså: används Newtons ansats för att * Få lätta räkningar med snälla siffror * Kunna återanvända koefficienterna * Få lågt konditionstal --------------------------------------------- NewAns - exempel --------------------------------------------- Provar olika gradtal på våra punkter ... --------------------------------------------- Vad händer vid höga gradtal? --------------------------------------------- Så vad gör man om man har 20 givna märtpunkter? --------------------------------------------- < Styckvis interpolation > --------------------------------------------- Styckvis linjär interpolation!!! --------------------------------------------- Styckvis kubisk IP = Lägg 3e-grads polynom mellan var par av mätdata * Grad 3 = 4 koeff = 4 villkor Fås med krav på kontinuerliga derivator --------------------------------------------- * Fusk-splines * Äkta splines (används i all bil- ,fartygs- och flygplansdesign!!!) --------------------------------------------- --------------------------------------------- --------------------------------------------- --------------------------------------------- --------------------------------------------- ---------------------------------------------