Lösning till fiktiv tentamen del1 till numfcl10:
================================================

1. y(5)=2.8

   Ty: y(x)=k*(x-x1)+y1 = k*(x-7)+2 där k=(y1-y2)/(x1-x2)=-2/5.
       y(5)=-0.4*(5-7)+2=0.8+2=2.8

2. z(1.2)=1.2 och z'(1.2)=1.2

   Ty: Eulers metod stegar y(n+1)=y(n)+h*f(x(n),y(n)) där 
   f(x,y) är en funktion som beräknar förstaderivatan av y.

   h blir 0.2

   z(1.2) = z(1.0) + h*z'(1.0) = 1+0.2*1 = 1.2

   z'(1.2) = z'(1.0) + h*z''(1.0) = (använd diffekv) 
           = z'(1.0) + h*(2*y(1.0)-z(1.0)*(z'(1.0)²) =
           = 1 + 0.2*(2*1-1*1²) = 1.2

3. Det är kvadratisk konvergens.

   Ty: vid kvadratisk konvergens är t(n+1)=K*(t(n))^2

   Insättning ger:  K= t2/t1² = 1e-3/(1e-2)²=10
                    K= t3/t2² = 1e-5/(1e-3)²=10
                    K= t4/t3² = 1e-9/(1e-5)²=10

   Om man prövar formeln för linjär eller kubisk konvergens
   får man inget konstant värde.

4. En bra startgissning är x=2.

   Ty: exp(x-100) är liten (mindre än 1) för alla x<100. Mao 
   rötterna till ekvationen är ungefär nollställena till x^4=16.

5. Felet är proportionellt mot med steglängden i kvadrat.

   Ty: Noggrannhetsordning 2 innebär att E ~ c*h².

6. u=0

   Ty: Nollställena till diffekv ger stationära lösningar (u=0 och u=2).
   Men bara u=0 är stabil. (Derivatan är negativ).

7. f'(0.99)=2.7

   Ty: f'(x)=(y1-y2)/(x1-x2)=(tex)=(2.718-2.691)/0.01=0.027/0.01=2.7

8. I~0.33

   ty: Trapetsregeln ger  T(0.5) = 0.5*(1/2*f(1.0)+1/2*f(1.5)) =
                                 ~ 0.25*(1/1.01)+1/(2.25+0.01))
   				 ~ 0.25*(1+4/9) ~ 0.33

9. se boken!