Tal 7.13 ur exempelsamlingenTalet handlar om att från en andra ordningens diffekvation beräkna y(x) och sedan rotera denna kurvan kring x-axeln och beräkna mantelytan. Första steget är att skriva om den som ett system av första ordningens differentialekvationer. Detta görs genom att göra substitutionen u1 = y och u2 = y'. Då betecknar u1 värdet på y vid x, u2 betecknar derivatan till y vid x, vidare inför vi u3 som får beteckna totala mantelytan vid x. u1' är då "variationen" av y vid x, u2' är variationen av y' vid x och u3' är variationen i totala mantelytan vid x. Vad är då variationen av totala mantelytan vid x? I vårt fall kommer den alltid vara en ökning. Antag att vi med någon metod (tex Euler) tar ett litet steg h frammåt i x. Hur stor blir då ökningen i u3? Omkretsen på en cirkel är 2*pi*radien, denna cirkel förs h steg frammåt och h*u2 steg uppåt (kurvan som cirkeln följer rör sig i y-led också inte bara x-led). Hur långt färdas då cirkeln? Vi använder pytagorassats: sqrt(h^2 + h^2*u2^2) Ökningen i mantelytan blir då den ytan som cirkeln passerar över då vi tar ett litet steg h: (längden på vägen) * (cirkelns omkrets) = sqrt(h^2 + h^2*u2^2)* (2*pi*u1) Summerar man alla dessa ökningar från början till slut så får vi totala mantelytan. När vi beräknar lösningskurvan för u1 från diff ekvationen du1/dx så tar vi och gör det i många små steg med början från begynnelsevillkoret och summerar varje litet stegs resultat. Gör vi det med tillräcklig noggrannhet får vi något som liknar den kurvan för u1 som man (ibland) kan räkna fram analytiskt. Det var bara detta stegvisa förfarande som u1, u2 och u3 har gemensamt som jag syftade på, det vill säga att vi tar ett litet steg i den riktningen diff-ekvationen säger, och sedan från den nya punkten vi nu står i tar ytterligare steg osv. Det är därför vi kan införa den tredje variablen u3 som är lika med mantelytan och beräkna den tillsammans med u1 och u2. |
